\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
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\newcommand\titre[1]{{\large\bfseries\uuline{#1}}\\} 
\newtheorem{theorem}{Th�or�me}
\newtheorem{exo}[theorem]{Exercice}

\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
 
\begin{document}
\noindent

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion

\setcounter{theorem}{154}

\begin{multicols}{2}%

\label{semaine 1}

\titre{Semaine du 11 Janvier au 17 Janvier}

\begin{exo}[D�riv�es]
D�terminer les d�riv�es des fonctions suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $f(x) = \ln(2x^3 + 3x) $.
\item $g(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[In�quations]
R�soudre les in�quations suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $ \dfrac{xe^x-1}{x} \geq e^x $.
\item $2x^2 -3x +1 < 0 $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[R�currence]
On consid�re $A,D \in \mathcal{M}_n(\R)$ et $P \in GL_n(\R)$ et que $A = P D P^{-1}$. Montrer par r�currence que $\forall n \in \N, A^n = P D^n P^{-1}$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Donner le r�sultat de la somme ou du produit suivant :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 2^{2k+1}$.
\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^k (-3)^{n-k}$.
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k-2)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilit�]
Une urne contient 12 boules : 6 boules vertes, 4 boules rouges et 2 boules noires; on tire au hasard successivement et avec remise 8 boules et on note $X$ la variable al\'eatoire \'egale au nombre de boules dans l'urne. Donner la loi de $X$, son esp�rance et sa variance
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \tos 0} \ln{\left( \dfrac{e^x-1}{x}\right)} $.
\item $\lim\limits_{x \to + \infty}  \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2 - 2} $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Syst�me]
Soit 
 $A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$. Calculez $A^{-1}$.En d�duire les solutions de $\left\{ \begin{array}{rcl}
x -z & = & 4 \\
2y & = & 16 \\
x + z & = & 15
\end{array} \right. $
\end{exo}



\label{semaine 2}

\titre{Semaine du 18 Janvier au 24 Janvier}

\begin{exo}[D�riv�es]
D�terminer les d�riv�es des fonctions suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $f(x) = \ln(x^2 +4) $.
\item $g(x) = e^{1/x^2}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[In�quations]
R�soudre les in�quations suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $ x^3 - 5x - 3 \geq 1 $.
\item  $\dfrac{x^3-8}{x^2-1} > 0$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[R�currence]
On consid�re les suites r�elles $(u_n)_{n \geq 1}$ v�rifiant 
\begin{equation}
\forall n \geq 1, 9 u_{n+3} - 9 u_{n+2} - 7 u_{n+1} + 7 u_n = 0.
\end{equation} 
Soit $(v_n)_{n \in \N^*}$ une suite v�rifiant $(1)$ avec $v_1 = v_2 = v_3 = 0$. Montrer que $\forall n \geq 1, v_n = 0$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Donner le r�sultat de la somme ou du produit suivant :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} e^{-k}$.
\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^k$.
\item $\displaystyle \sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k-1}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilit�]
On lance 2 fois un d� �quilibr� � 6 faces et on note $X$ la variable al�atoire qui vaut $0$ si on fait 2 ou 11 et 1 sinon. Donnez la loi, l'esp�rance et la variance de $X$.
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\li_{x \tos 1} \dfrac{x^2+3x -4}{x -1} $.
\item $\lim\limits_{x \to + \infty}  \dfrac{x^2 + 34}{x^7 - x^6 +5} $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Syst�me]
R�soudre le syst�me $\left\{ \begin{array}{rcl}
x -2y +5z & = & 13 \\
2x +4y -5z & = & -12 \\
3x -2y - z & = & 3
\end{array} \right. $
\end{exo}

\newpage


\label{semaine 3}

\titre{Semaine du 25 Janvier au 31 Janvier}

\begin{exo}[D�riv�es]
D�terminer les d�riv�es des fonctions suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $f(x) = \sqrt{x^2 +4} $.
\item $g(x) = \dfrac{1}{x^3 - x}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[In�quations]
R�soudre les in�quations suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $x - xe^x \geq 0 $.
\item $x^3 - 1 < 0 $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[R�currence]
Montrer par r�currence que $\forall n \in N,$
$$
\sum_{k=0}^n k 2^k  = (n-1) 2^{n+1} + 2
$$ 
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Donner le r�sultat de la somme ou du produit suivant :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (k^3 - 2 \times 3^k)$.
\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} 4^k 3^{n-k}$.
\item $\displaystyle \prod_{k=1}^n \ln(k)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilit�]
Dans un magasin, il y a $n$ clients et $m$ caisses. Chaque client choisit une caisse au hasard et on appelle $X$ le nombre de client choisissant la caisse num\'ero 1. Donnez la loi, l'esp�rance et la variance de $X$.
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to 0} \left( 1+x\right)^{1/x} $.
\item $\lim\limits_{x \to + \infty}  x^3 - x\ln(x)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Syst�me]
Soit $A = \begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & -4 & 3 \\
1 & 1 & -3 \\
\end{pmatrix}$. Calculez $A^{-1}$. 
\end{exo}

\vspace{100pt}


\label{semaine 4}

\titre{Semaine du 1er F�vrier au 7 F�vrier}

\begin{exo}[D�riv�es]
D�terminer les d�riv�es des fonctions suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $f(x) = (x^2 +4)^3 $.
\item $g(x) = \ln(x^3 +x^2 +1)$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[In�quations]
R�soudre les in�quations suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $\dfrac{1}{x^2 +1} \geq \dfrac{1}{x-1} $.
\item $\displaystyle \sum_{k=0}^n e^{-k} < 0 $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[R�currence]
On consid�re la fonction $f:x \to e^{x^2 + 3x}$. D�montrer par r�currence que pour tout $n \in \N$, $f$ est d�rivable $n$ fois et que  
$$
f^{(n)}(x) = P_n(x) e^{x^2 + 3x}
$$
o� $P_n(x)$ est un polyn�me de degr� $n$. D�terminer une relation entre $P_{n+1}$ et $P_n$.  
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
D�terminer $a$ et $b$ tels que $\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} = \dfrac{a}{k+1} + \dfrac{b}{k+2}$. En d�duire 
$$
S_n = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}
$$
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilit�]
Un avion peut accueillir 20 personnes. On sait que 25\% des clients ayant r�serv� ne viennent pas. Soit
$X$ la variable al�atoire : "nombre de clients qui viennent apr�s avoir r�serv�". Quelle est la loi de $X$ ? Quelle est son esp�rance, son �cart-type ?
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{e^x -1} $.
\item $\lim\limits_{x \to + \infty}  \dfrac{e^{x^2}}{x^2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Syst�me]
R�soudre le syst�me en fonction de $\lambda$ 
\begin{center}
$\left\{ \begin{array}{rcl}
(2 - \lambda)x + y & = & 0 \\
x + (2- \lambda)y & = & 0 \\
\end{array} \right. $
\end{center}
\end{exo}



\newpage
\label{Semaine 5}
\titre{Semaine du 8 F�vrier au 14 F�vrier}
\newcommand{\esp}{\vspace{-17pt}}
\esp

\begin{exo}[D�riv�es]
D�terminer les d�riv�es des fonctions suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $f(x) = (-x^2 +4x)^4 $.
\item $g(x) = \dfrac{x-5}{x^2 + 3x +1}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[In�quations]
R�soudre les in�quations suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $e^{x^2+2x+\ln(2)} \geq 2 $.
\item $\displaystyle x^2 + 2 \geq 0 $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[R�currence]
On consid�re la fonction $f:x \to e^{-x^2}$. D�montrer par r�currence que pour tout $n \in \N$, $f$ est d�rivable $n$ fois et que  
$$
f^{(n)}(x) = P_n(x) e^{-x^2}
$$
o� $P_n(x)$ est un polyn�me de degr� $n$. D�terminer une relation entre $P_{n+1}$ et $P_n$.  
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
D�terminer $a$ et $b$ tels que $\dfrac{1}{k^2 - 1} = \dfrac{a}{k-1} + \dfrac{b}{k+1}$. En d�duire 
$$
S_n = \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2 - 1}
$$
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilit�]
Un joueur lance 3 fois une pi�ce truqu�e ayant pour probabilit� $p  \in ]0,1[$ de faire Pile. Le joueur gagnera $j$ euros si pile tombe pour la premi�re fois au $j$-�me tirage. Il perd 1 euro si pile ne tombe pas lors des 3 tirages. On note $G$ le gain du joueur. D�terminer la loi de $G$, son esp�rance et sa variance.  
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2}{e^x -1} $.
\item $\lim\limits_{x \to + \infty}  \dfrac{\ln(x)^3}{e^{2x}}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Syst�me]
R�soudre le syst�me en fonction de $\lambda$ 
\begin{center}
$\left\{ \begin{array}{rcl}
\lambda x + y & = & 0 \\
x + (2- \lambda)y & = & 0 \\
\end{array} \right. $
\end{center}
\end{exo}

\label{Semaine 6}
\titre{Semaine du 15 F�vrier au 21 F�vrier}

\begin{exo}[In�quations]
R�soudre les in�quations suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $\ln(x) + e^x \geq 0 $.
\item $\ln(x) e^x < 0 $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[R�currence]
On consid�re la suite $(u_n)$ d�finie par $u_0 = 2$ et $u_1 = 3$ et pour tout $n \in \N$, par $u_{n+2} = \sqrt{u_{n+1}} +  \sqrt{u_n}$. Montrer par une r�currence double que pour tout $n \in \N$, $u_n$ est bien d�finie et $u_n >1 $

\remarque{Pour effectuer une r�currence double, on suppose que $\mathscr{P}_n$ et $\mathscr{P}_{n+1}$ sont vraies et on montre $\mathscr{P}_{n+2}$ }
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Calculer les sommes suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2^k} \binom{n}{k}$.
\item $\displaystyle \prod_{k=3}^n k$
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k k!$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
{\it On remarquera pour la derni�re que $k = k+1 - 1$}
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilit�]
On consid�re une urne contenant $2$ boules noires et $2$ boules
blanches, toutes indiscernables. Un joueur $A$ effectue des tirages successifs d'une boule \textbf{\uline{sans remise}} dans l'urne jusqu'� obtenir une boule blanche. On note $X$ la variable al�atoire r�elle �gale au nombre de boules
noires tir�es par $A$ avant de tirer une boule blanche. Donner les probabilit�s des �v�nements : $ [X=0]$ , $[X=1]$ , $[X=2]$ . En d�duire l'esp�rance et la variance de $X.$ 
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to - \infty} \ln(x^2) e^x $.
\item $\lim\limits_{x \tos 1}  \dfrac{x^3 -2x +1}{x^2 -1}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Syst�me]
 R�soudre le syst�me selon les valeurs de $\lambda$ $\left\{ \begin{array}{rcl}
(1-\lambda)x +2y -z & = & 0 \\
-2x - (3+\lambda)y + 3z & = & 0 \\
x + y -(2+\lambda) z & = & 0
\end{array} \right. $
\end{exo}

\begin{exo}[Int�grales / Primitives]
Calculer les int�grales suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_{1}^{3} - \dfrac{3}{x^2} dx$.
\item $\displaystyle \int_{0}^{4} e^{5x+1}  dx$.
\item $\displaystyle \int_{0}^{2} \dfrac{x^2}{3x^3 +1} dx$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\label{Semaine 7}
\titre{Semaine du 22 F�vrier au 7 Mars : Calcul d'int�grale}
\begin{exo}
Donner les primitives de chacune des fonctions suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $t \to \dfrac{1}{t-2}$ 
\item $t \to \dfrac{1}{t^2}$
\item $t \to \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}$
\end{qmulti}
\end{exo}
%
\begin{exo}
Donner les primitives de chacune des fonctions suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $t \to \dfrac{(\ln(t))^3}{t}$
\item $t \to \dfrac{e^{2t}}{e^{2t} +2}$
\item $t \to \dfrac{e^{\sqrt{t}}}{2 \sqrt{t}}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer les int�grales suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_0^1 (t^2 + 3t)dt$.
\item $\displaystyle \int_0^1 e^{2x - 1}dx$.
\item $\displaystyle \int_e^{e^2} \dfrac{1}{u \ln(u)} du$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer les int�grales suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{t-2} dt$.
\item $\displaystyle \int_1^4 (2z - 1)e^{z^2 - z} dz$.
\item $\displaystyle \int_0^2 \dfrac{3e^t}{e^t +3} dt$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer les int�grales suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_e^{2e} \dfrac{1}{t \sqrt{\ln(t)}} dt$.
\item $\displaystyle \int_0^4 \sqrt{y} (y - 2\sqrt{y} )dy$.
\item $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{x}{x+1} dx$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer les int�grales suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{t^2} dt$.
\item $\displaystyle \int_e^3 \dfrac{dx}{x \ln(x)}$.
\item $\displaystyle \int_1^2 \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} dx$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}
Calculer les int�grales suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_0^2 z^4 e^{-z^5} dz$.
\item $\displaystyle \int_0^1 (t^2 + 3t)dt$.
\item $\displaystyle \int_0^{\frac{\ln 2}{2}} \dfrac{e^{2t}}{e^{2t} + 1} dt$.
\end{qmulti}
\end{exo}

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{document}